하버드 대학교 수학 박사이자 독일 슈투트가르트 대학교 교수인 크리스티안 헤세가 계산기에게만 맡겨둘 수 없는 다양한 셈의 원리를 소개하며 우리를 ‘슬기로운 수학 생활’로 안내한다. 막대기 몇 개로 복잡한 곱셈을 단숨에 처리하는 데서부터 명쾌하게 나누어떨어지는 수를 찾고 가장 우아한 방식으로 제곱근을 구하기에 이르기까지, 《하버드 수학 박사의 슬기로운 수학 생활》은 학교에서는 들어본 적 없는 기상천외한 계산 방법을 알려주며 수포자들이 일상에서도 수학을 쉽게 활용할 수 있도록 안내한다.

“‘AI 시대’를 살아가는 수포자들에게 건네는 수학”
알고리즘보다 중요한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 세계

“우리는 지금 수학의 시대를 살아가고 있다.”
_2019년 영국 연구소 EPSRC가 발표한 미래전략 보고서

“4차 산업혁명을 넘어 그 다음까지 대비하기 위해 갖춰야 할 것이 세 가지 있다.
첫 번째는 수학이고, 두 번째는 수학이며, 세 번째는 수학이다.”
_2019년 일본 경제산업성과 문부과학성의 보고서

최근 세상의 혁신을 주도하는 가장 중요한 학문으로 곳곳에서 ‘수학’이 꼽히고 있다. 최첨단 ‘AI 시대’를 맞이하면서 빅 데이터나 알고리즘 등 현란한 수학적 기법이 주목받고 있지만, 동시에 이러한 분위기에 발맞추지 못하는 사람들도 있다. 바로 ‘수포자(수학을 포기한 사람들)’이다. 난해한 수식 앞에 갈피를 잡지 못하는 사람들에게 수학은 여전히 기피 대상 1호로 꼽히고 ‘AI 시대’는 심각한 압박으로 다가오고 있다.
그러나 인공지능이 구사하는 복잡한 수학 이전에 우리의 일상은 단순한 ‘셈’으로 이루어져 있다. 하버드 대학교 수학 박사이자 독일 슈투트가르트 대학교 교수인 크리스티안 헤세는 계산기나 AI에게만 맡겨둘 수 없는 다양한 셈의 원리를 소개하며 우리를 ‘슬기로운 수학 생활’로 안내한다. 막대기 몇 개로 복잡한 곱셈을 단숨에 처리하는 데서부터 명쾌하게 나누어떨어지는 수를 찾고 가장 우아한 방식으로 제곱근을 구하기에 이르기까지, 《하버드 수학 박사의 슬기로운 수학 생활》은 학교에서는 들어본 적 없는 기상천외한 계산 방법을 알려주며 수포자들이 일상에서도 수학을 쉽게 활용할 수 있도록 안내한다.

“생각의 틀만 바꾸면, 누구나 가우스가 될 수 있다”
창의적 발상으로 3초 만에 암산을 끝내는 ‘초스피드 수학’
1부터 100까지의 수를 모두 더하라는 문제에 단 몇 초 만에 답을 한 소년이 있었다. 바로 위대한 수학자 가우스였다. 1부터 100을 차례대로 더하는 지지부진한 사고방식을 넘어 가우스는 1에서 100까지의 수를 나란히 두 번 나열하여 더하고 이를 다시 나누는 창의적인 방법을 썼다. 이처럼 천재적인 수학자들의 기발한 사고법을 들여다보는 《하버드 수학 박사의 슬기로운 수학 생활》은 수학이 수의 진부한 나열이 아니라 발상의 전환을 통해 사고를 절약하는 셈의 기술임을 알려준다. 저자 크리스티안 헤세는 우리가 알고 있던 셈법의 틀을 바꿔 가장 빠르고 정확한 계산의 기술을 쉽고 명쾌하게 알려준다.
가우스처럼 창의적인 발상을 떠올리기가 어렵다면, 이 책에 등장하는 암산 기술을 그대로 따라가기만 해도 좋을 것이다. 복잡한 계산을 단숨에 처리하는 기술은 실생활에 유용하게 쓰일 수 있는 것은 물론 그 뒤에 숨겨진 수학적 사고의 기초와 아이디어를 획득할 수 있게 해준다. 이 책은 빠른 암산의 요령에 담긴 원리와 의미는 물론이고 고대로부터 이어져온 수학자들의 재미있는 에피소드 등을 소개하며 실용과 교양의 측면을 모두 놓치지 않는다.

“그저 막대기를 놓고, 바둑판만 그려봤을 뿐인데”
셈의 원리가 한눈에 이해되는 신기한 ‘액션 수학’
《하버드 수학 박사의 슬기로운 수학 생활》은 글로 계산의 과정을 풀어 설명하는 것을 넘어 셈의 원리를 시각적으로 한눈에 이해할 수 있도록 돕고 직접 독자들이 문제를 풀어보며 수학을 익힐 수 있도록 안내한다.
가령 21×32와 같은 두 자리 수 곱셈은 어떻게 풀어야 할까? 수학자 트라첸버그가 내세운 하나의 원칙만 기억하면 간단하다. ‘수직으로 한 번, 대각선으로 두 번, 다시 수직으로 한 번.’ 우선 두 숫자를 위아래로 나란히 배열한다. 먼저 일의 자리를 수직으로 곱하고(1×2\u003d2) 마지막 자리로 보낸다. 그다음 대각선으로 십의 자리와 일의 자리, 일의 자리와 십의 자리 수를 각각 곱한 다음 더해 준다(2×2+1×3\u003d7). 마지막으로 십의 자리 수를 곱해 주고(2×3\u003d6) 맨 앞자리로 보낸다. 지금까지 나온 수를 차례로 정리하면 21×32\u003d672가 된다. 이 같은 ‘트라첸버그 곱셈법’은 세 자리 수들의 곱셈에도 그대로 적용할 수 있다.
고대로부터 중국인들이 사용한 ‘막대기(산가지) 곱셈법’도 있다. 마찬가지로 곱셈식 21×32를 풀어보자. 연산하려는 두 수의 1의 자리 수와 10의 자리 수만큼 막대기를 준비하고 멀찍이 떨어뜨려 놓는다. 그리고 산가지가 교차하는 지점들의 수를 세어주기만 하면 식이 간단히 풀린다.
같은 식을 중세 아랍인들이 사용한 ‘바둑판 곱셈법’을 통해 풀어보자. 두 자리 수끼리의 곱셈이므로 2×2만큼의 바둑판무늬를 그린 다음, 두 수를 바둑판의 위쪽과 오른쪽에 배열한다. 바둑판의 각 칸을 대각선으로 나누어 위쪽과 오른쪽의 수들을 각각 곱해서 그 값을 해당 칸에 적어준다. 그리고 오른쪽에서부터 수들을 대각선으로 더한 값을 바둑판의 아래쪽과 왼쪽에 적어준다. 이렇게 대각선으로 더한 값을 왼쪽에서부터 차례로 정리하면 답이 나온다.

“수학은 생각의 예술이자 슬기로운 취미 생활이다”
우리의 일상을 풍요롭게 만드는 ‘매직 수학’
‘기러기’나 ‘다가가다’, ‘Otto’나 ‘Reliefpfeiler’처럼 앞에서부터 읽으나 뒤에서부터 읽으나 똑같은 문자로 이루어진 ‘회문’의 단어가 있다. 마찬가지로 수학에서도 희한한 우연으로 이루어진 ‘회문의 등식’이 있다. 64×23\u003d32×46, 26×93\u003d39×62, 203313×657624\u003d426756×313302 등이 그 한 예다. 이처럼 《하버드 수학 박사의 슬기로운 수학 생활》은 우리가 몰랐던 신기하고 재미있는 계산의 세계를 알려주며 ‘수의 우주’에서 가장 극적인 순간들을 보여준다.
손가락 셈법부터 시작하여 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 로그에 이르면서 문제가 심화되지만 그 과정에서 저자가 드는 예제들이 지적인 흥미를 돋운다. 3608528850368400786036725와 같은 괴물 같은 숫자를 똑 나누어떨어지게 만드는 수의 규칙, 9거법과 11거법을 활용한 카드 마술, 보기만 해도 머리 아픈 다섯제곱근 문제를 순식간에 푸는 법, 달력을 보지 않고도 임의의 날짜가 무슨 요일인지 알아채는 법 등 그냥 지나칠 수 없는 기발한 문제들이 우리의 사고를 자극하고 지적인 도전 욕구를 불러일으킨다. 수학에 대한 콤플렉스로 한번쯤 골머리를 앓아봤을 사람들에게 이 책은 수학이 머리 아프고 까다로운 ‘공부’가 아니라 마치 칵테일을 마시듯 뇌를 깨우는 ‘취미’가 될 수 있게 해준다. 접기

명쾌하고 흥미진진하며, 유익한 암산 기법이 가득한 책.
_《슈펙트룸Spektrum.de》(과학 전문지)

이 책의 저자는 비범하다. 독자들은 수학의 매력에 깊이 빠지게 될 것이다.
_《쿨투어부흐팁스Kulturbuchtipps.de》(인문학 전문지)

모든 도서관에 꼭 비치해야 할 훌륭한 수학책!
_Wedma(아마존 독자)

“불필요한 것들을 쳐내는 빠르고 정확한 ‘3초 수학’”
가장 단순한 계산법에서 찾은 명쾌한 수학적 사고의 힘

“‘AI 시대’를 살아가는 수포자들에게 건네는 수학”
알고리즘보다 중요한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 세계

“우리는 지금 수학의 시대를 살아가고 있다.”
_2019년 영국 연구소 EPSRC가 발표한 미래전략 보고서

“4차 산업혁명을 넘어 그 다음까지 대비하기 위해 갖춰야 할 것이 세 가지 있다.
첫 번째는 수학이고, 두 번째는 수학이며, 세 번째는 수학이다.”
_2019년 일본 경제산업성과 문부과학성의 보고서

 

수와 수들 사이의 계산은 우리의 삶과 동떨어져 있지 않다. 셈과 수는 언제 어디에서나 우리 곁에 있다. 보통의 일상 속에서도 빠르게 계산해야 할 계기는 도처에 널려 있다. 하지만 계산기나 스마트폰 또는 암산 능력자들이 언제나 우리와 가까이 있는 건 아니다. 이때 어린 가우스처럼 기발한 암산 방법을 쓸 수 있다면, 길고 지루한 계산에 쓸데없이 오랜 시간이 걸리지 않을 것이다. 다행히도 쉽고 빠른 암산 기법들은 셀 수 없이 많다. 그리고 그 수많은 암산 기법들의 이면에는 마법과도 같은 신기한 아이디어가 숨어 있다. 이 책은 그런 암산법들을 소개하려 한다. 이래도 되나 싶을 정도로 아주 빠른 암산 요령들에 놀랄 것이다. 더불어 이 책에서 습득한 암산 기법은 여러분의 사고방식에 작지 않은 영향을 줄 것이다. 대부분의 암산 요령들은 지적으로 풍부한 사고를 가능하게 해 주기 때문에, 특히 학생들이 공부하는 데도 큰 도움이 될 것이다.
_22쪽

예를 들어 13×17을 계산해 보자. 소소하게 몇 단계만 거치면 금방 답이 나오는데, 그 방법은 다음과 같다. ①먼저 첫번째 수(13)에 두번째 수의 1의 자리(7)를 더하고(13+7=20), 그 값에 0을 하나 더 붙여 준다. 그러면 200이 나온다. ②여기에 두 수의 1의 자리를 곱한 값(3×7=21)을 더해 준다. 답은 221이다. 같은 방법으로 14×19=266도 계산할 수 있는데, 그 과정을 간단하게 풀면 아래와 같다.
14 → 23 → 230 → 266
_46쪽

27×81=2187
이 예가 특별한 이유는 곱한 값의 수가 (자릿수와 상관없이) 곱하려는 수들로 이루어져 있기 때문이다. 다음에 소개하는 세 개의 등식은 더욱 놀랍고 신기하다. 앞서 보았던 거울 반사가 또 등장한다. 이들은 수식을 앞에서 읽든 뒤에서 읽든 상관없이 같은 결과가 나온다. 말하자면 곱셈으로 된 회문回文인 셈이다.
203313×657624= 426756×313302
… 앞에서부터 읽으나 뒤에서부터 읽으나 나열된 숫자의 순서가 모두 똑같다. 그러므로 분명히 회문이다. 그런데 과연 이 등식은 성립하는 걸까? 그렇다! 회문이 뭔지 확실히 이해했다면 숫자와 기호로 이루어진 다음의 회문들을 위에서 익힌 방법으로 검산해 보자.
64×23=32×46
14×82=28×41
26×93=39×62
35×41=1435
34×86=68×43
_75~77쪽

우리가 사는 이 세상에는 행운과 같은 우연들이 가끔 일어난다. 수의 세계도 예외는 아니다. 간식용 과자처럼 생긴 아래 식에는 수학에서 극히 드물게 벌어지는 우연이 깃들어 있다.
8101265822784÷8=?
언뜻 보면 그저 기나긴 나눗셈으로만 여겨지는 이 식에는 놀라운 우연이 숨어 있다. 우리에게는 이 나눗셈을 다스릴 위대한 힘이 있다. 사실 답은 이미 눈앞에 펼쳐져 있다. 긴 수열의 맨 앞에 있는 숫자 8을 맨 뒤로 넘기기만 하면 답이 나온다. 즉 이 나눗셈의 결과는 1012658227848이다. 나눗셈이 언제나 이렇게 풀리면 얼마나 좋을까.
_163~164쪽

어떤 수에 9를 곱해서 나온 수, 즉 9의 배수에서는 검사 수가 반드시 9가 된다. 궁금하다면 직접 연산을 해 보자. 이런 수로 확인해 보면 어떨까?
10112359550561797752808988764044943820224719×9=?
가능하면 아주 빠르게 곱셈을 해 보자. 아니면 ‘프레치피테볼리시메볼멘테Precipitevolissimevolmente’하게! 이 말은 이탈리아어에서 가장 긴 단어 중 하나로 ‘신속히’, ‘빠르게’라는 뜻이라고 한다. 나는 여러분을 믿는다. 분명 신속하게 계산할 수 있을 것이다. 그래서 1초 만에 답이 나왔는가? 지금 뭔가 잘못 읽었나 의심하는 분도 있을 것이다. 이렇게 긴 계산을 1초 만에 풀라니, 이게 다 무슨 말일까?
자, 그럼 이 어마어마한 괴물을 9로 곱해 보자. 괴물의 맨 끝에 있는 9를 떼어내서, 맨 앞에 가져다놓으면 곱셈은 끝난다. 이렇게 간단하리라고 누가 생각이나 했겠는가? 그런데 누군가는 이 생각을 처음으로 해냈을 것이다. 그 덕분에 우리가 이처럼 간단한 결과를 순식간에 얻게 되었으니 말이다. ‘수의 우주’에서 이 괴물처럼 자리 하나만 바꾸어 9와의 곱셈이 단숨에 끝나 버리는 경우는 더 없다. 저 괴물이 특별하고 유일한 셈이다.
_218~219쪽

들어가는 말: ‘수학의 캘리포니아’에 오신 것을 환영합니다

Chapter 1 | 워밍업 |
Section 1 누구나 가우스가 될 수 있다!
Section 2 연산은 어떻게 시작되었는가?

Chapter 2 | 곱하기 |
Section 1 본격적인 곱셈법으로 넘어가기 전에
Section 2 10의 자리가 같은 두 자리 수 곱셈법
Section 3 곱하려는 두 수의 차가 짝수인 경우
Section 4 트라첸버그의 두 자리 수 곱셈법
Section 5 100에 가까운 수들의 곱셈법
Section 6 제곱 쉽게 하는 법
Section 7 앞자리가 같은 수들의 곱셈법
Section 8 끝자리가 같은 수들의 곱셈법
Section 9 고대 중국인들의 산가지 곱셈법
Section 10 중세 아랍인들의 바둑판 곱셈법
Section 11 ‘세제곱’이라는 삼중고
Section 12 트라첸버그의 세 자리 수 곱셈법
Section 13 세 자리 수 제곱법
Section 14 1000에 가까운 수들의 제곱법

Chapter 3 | 나누기 |
Section 1 한 자리 수로 나누기
Section 2 두 자리 수로 나누기
Section 3 모든 값 뒤집기

Chapter 4 | 정답 체크 |
Section 1 9거법
Section 2 11거법

Chapter 5 | 거듭제곱의 뿌리 캐기 |
Section 1 정수 제곱근 구하기
Section 2 정수가 아닌 제곱근 구하기
Section 3 근의 꼭대기까지 올라가기
Section 4 훨씬 쉽고 간단하게 제곱근 구하기
Section 5 정사각형을 그리듯 제곱근 구하기
Section 6 원을 그리듯 제곱근 구하기
Section 7 까다롭지만 재미있는 제곱근 이야기
Section 8 모든 과정을 통과한 이들을 위한 보너스
Section 9 근은 어떻게 뿌리내리는가
Section 10 무려 ‘다섯제곱근’을 구하는 법

Chapter 6 | 로그의 마법 |
Section 1 복잡한 계산을 쉽게 풀어주는 로그의 비밀

Chapter 7 | 쿨다운 |
Section 1 아무 날짜가 무슨 요일인지 계산하는 방법
Section 2 수학이 정말 행복의 도구가 될 수 있을까?

감사의 말
참고문헌