수학은 문제 해결 능력을 키우는 공부
“많은 사람이 수학을 잘못 이해하고 있다!”

무슨 일이든 십 년 이상 꾸준히 하면 뭐라도 하나 건질 만하다. 초중고교 12년 동안 학교와 학원에서 꾸준히 수학을 공부했으니, 국민 대다수가 아마추어 수학자 정도의 실력은 갖추어야 한다. 하지만 실상은 그렇지 않다. 이공계 진학생이 아니라면 마치 나쁜 기억을 떨쳐버리기라도 하듯 고등학교를 졸업하는 순간 수학과 완전히 담을 쌓는다. 어떠한 긍정적 결과에도 이르지 못한 채 사장되어버린 그 숱한 ‘수학 시간’을 생각하면 안타까운 마음마저 든다.

이는 수학에 잘못 접근했기 때문이다. 수학은 공식을 외우고 거기에 수를 대입해서 답을 도출하는 계산이 전부가 아니다. 수학은 한 가지 정답에 이르는 여러 가지 길을 가지고 있다. 수학자들은 일부러 어려운 길을 택해서 결과보다는 ‘과정’을 즐기기도 한다. 이 과정들을 통해 하나의 사안을 바라보는 다양한 시각과 관점을 갖추고, 유사한 문제에 맞닥뜨렸을 때 그것을 해결하는 능력을 키울 수 있기 때문이다. 이것이 수학의 역할이다. 수학은 필연적으로 주어진 질문을 받아들이는 이해력과 논리적인 사고력, 주어진 단서를 조합하여 결론에 이르는 추리 능력을 요구한다. 이렇게 키운 이해력과 논리력, 추리력은 다른 학문 분야에도 그대로 적용할 수 있다. 수학을 일러 모든 학문의 출발점이라고 말하는 이유다.

동굴에서 태어나 우주에 이른 수학의 여정
“수학은 인류의 사고가 축적되고 집적된 아이디어 창고다.”

과학 분야는 새로운 사실이 증명되면 이전의 이론은 역사의 뒤안길로 사라진다. 천체가 지구를 중심으로 돈다는 지구중심설을 태양중심설이 대체한 것이 대표적인 사례다. 하지만 수학은 새로운 해결법이 등장해도 이전의 방법이 묻히지 않는다. 새로운 아이디어가 나타난다 해서 삼각형이 갑자기 사각형이 되지는 않고, 숫자 1은 여전히 1이기 때문이다. 그래서 수학에는 인류가 이어온 사고의 과정이 켜켜이 쌓여 있다.

『수학 평전』은 숫자를 새기 위해 원시인이 뼈에 새긴 눈금으로부터 이야기를 시작한다. 인류 문명이 태동한 이집트와 메소포타미아, 중국 등지에서는 기하학이 싹텄고, 상업이 발달했던 인더스 문명에서는 수와 셈법이 높은 수준에 이르렀다가 훗날 수학 최고의 발명품이라 할 수 있는 ‘0’을 고안해내기에 이른다. 고대 그리스의 철학자들은 우주를 운영하는 힘의 근원을 파악하던 중 수학이 자연의 질서를 파악하는 열쇠라는 사실을 알아낸다. 이후 이 책은 인류의 역사에 큰 족적을 남긴 뛰어난 수학자들이 어떻게 해서 그와 같은 아이디어를 떠올리게 되었는지 과정을 살핀다. 2차원의 평면에 머물러 있던 수학이 3차원의 입체적인 공간에 적용되고, 영원히 만나지 않는 두 개의 평행선이 우주에서는 중력의 영향을 받은 공간이 휘어짐에 따라 서로 만날 수도 있다는 가설을 증명함으로써 4차원인 미지의 영역으로까지 뻗어간다. 수학자들의 뛰어난 발견이 천문학과 물리학 등의 다른 학문 분야에 적용되어 문명의 발전을 가속시키는 역사적 사건들은 그 어떤 논픽션 못지않게 역동적이고 흥미진진하다.

수학에 흥미를 잃었거나, 아예 수학은 건너뛸 생각을 가진 학생이라면 반드시 이 책을 읽어야 한다. 컴퓨터와 계산기가 수십 조 단위까지 척척 계산해주는 이 시대에도 여전히 수학은 유용하다. 수학은 세상의 모든 현상을 분석하고 파악하는 모든 생각의 출발점이기 때문이다.

책 속에서

수학은 필요한 결론을 이끌어내는 과학이며, 대단히 창조적이고 철학적인 과정을 필요로 하는 학문이다. 수학 또한 인생처럼 예측하기 어렵고, 수많은 변수들이 존재하며, 어떻게 하느냐에 따라 수백·수천의 결과를 이끌어낼 수 있는 변화무쌍한 영역이다. 추상적인 사고력과 철학이 없는 수학은 상상할 수도 없다.
---「통찰력과 상상력 그리고 직관, 16쪽」중에서

수학적 상상력이 가장 멋지게 표현된 분야는 바로 문학이다. 소설가들은 시간과 공간 그리고 무한에 사로잡혔다. 수학과 문학이 통한다는 것을 보여주는 사례는 얼마든지 있다.
---「수학은 이야기를 통해 표현된다, 27쪽」중에서

피타고라스학파는 수를 신성하게 생각했다. 그중에서도 1, 2, 3, 4, 5…… 등등의 자연수는 만물을 지배하는 수로 가장 아름답다고 생각했다. 자연수는 만물의 구성 원소로, 이성, 정의, 사람, 건강, 결혼 등과 같은 개념도 자연수로 표현할 수 있었다. 피타고라스학파는 수의 신비주의에 흠뻑 빠져 있었으므로, 자연수 외의 수는 사악한 것으로 간주했다.
---「무리수를 발견하다, 42쪽」중에서

피타고라스의 정리는 그리스 이전 이집트, 인도, 중국의 사람들도 어렴풋이 알고 있었다. 수학 공식에 대해서는 몰랐지만 나름대로 실속 있게 사용했다. 이집트 사람들은 밧줄에 매듭을 지어서 삼각형을 만들어 땅을 측정하는 데 썼다. 그들은 직각삼각형을 만드는 데 밧줄 매듭 세 개와 네 개, 다섯 개가 필요하다는 사실을 알았다. 그러나 매우 단순한 수준이었고, 이것을 발전시켜 처음 수학적으로 증명한 사람들은 피타고라스학파였다.
---「무리수를 발견하다, 43~44쪽」중에서

홍수가 지난 후 사람들은 자기 땅이 어디였는지 빨리 알아내야 했다. 자기 땅의 위치를 파악하기 위해 이집트 사람들은 기하학을 할 수밖에 없었다. 기하학은 영어로 지오메트리(geometry)라고 하는데, 이것은 실제로 땅을 측정한다는 뜻이다.
---「최초의 기하학자는 나일강가의 농부였다, 56쪽」중에서

이집트에서 꽃피운 문명은 지중해를 건너 이웃 그리스에 전달되었다. 물론 사람들은 생활에 필요했기 때문에 수학을 생각해내고 이용했지만, 그것에 만족하지 않고 철학하는 기쁨 그 자체 때문에 공부하는 사람들이 있었다. 생각하고 깨달아가는 기쁨을 좋아하고, 그 속에서 만족감을 갖는 학자들이 늘어난 것이다.
---「최초의 기하학자는 나일강가의 농부였다, 58쪽」중에서

저자 서문 _ 수학적 순간을 위하여

Chapter 1 수학의 답을 찾는 과정은 대단히 철학적이고 문학적인 모험이다
통찰력과 상상력 그리고 직관 : 수학은 경험과 철학의 산물이다
유한한 존재의 무한을 향한 도전 : 큰 수에 대한 고대인의 생각
상상력조차 가닿을 수 없는 무한의 세계 : 검색 엔진 구글 이야기
수학은 이야기를 통해 표현된다 : 문학적 상상력과 수학적 메타포

Chapter 2 세상의 금기를 무너뜨린 수학자들
태양이 지구를 도는가, 지구가 태양을 도는가? : 천체의 움직임에 관한 생각의 역사
무리수를 발견하다 : 피타고라학파의 이단아, 히파소스
수학의 역사 속에서 일어난 가장 잔인한 사건 : 진리를 위해 목숨을 버린 여성 수학자, 히파티아

Chapter 3 수학 속에 담긴 괴짜들의 엉뚱한 상상
최초의 기하학자는 나일강가의 농부였다 : 수학의 발생과 발전
지혜의 순례자 피타고라스 : 피타고라스학파의 탄생
숱한 비밀을 간직한 채 사라진 수학자 : 피타고라스의 최후
수학으로 우주의 비밀을 엿보다 : 피타고라스학파의 우주론
왜 아킬레스는 거북이를 따라잡을 수 없는가? : 제논의 패러독스에 담긴 시간과 공간의 개념
사라져버린 고대 그리스의 기하학 정리 : 에우데무스 요약
고대 인물들에 대한 기록 : 플루타르크 영웅전

Chapter 4 기하학과 방정식의 시대
고대 지혜의 보고, 알렉산드리아 도서관 : 알렉산드리아로 향한 의문의 사내
유클리드 기하학과 비유클리드 기하학 : 인류의 가장 오랜 수학 교과서, 『기하학 원론』
진리 탐구인가, 실용성 추구인가? : 수학은 과학과 진리 탐구의 도구
방정식의 시대가 열리다 : 디오판토스의 『산수론』
π에 대하여 : 아르키메데스가 남긴 유산

Chapter 5 중세 유럽을 깨운 아라비아숫자
암흑시대 : 600년 동안의 어둠
2차 방정식과 진법, 0의 탄생 : 인도와 아라비아의 수학
고대 중국의 수학과 마방진 : 구장산술과 주비산경
피보나치와 아라비아숫자 : 아라비아숫자를 유럽에 전하다
토끼와 피보나치수열 : 피보나치수열의 규칙
주판을 이용하는 사람과 계산법을 활용하는 사람 : 기하학에서 대수학으로

Chapter 6 일상과 예술에 스며든 르네상스기의 수학
르네상스와 레오나르도 다빈치 : 가장 르네상스적인 인간
세상의 비밀을 캐고자 했던 다빈치 : 수학, 과학, 의학, 예술에 통달한 천재의 기록
수학을 적용하면서 예술이 더욱 풍부해지다 : 사영 기하학과 투시 화법
인쇄술의 발명 : 지식의 공유와 확산

Chapter 7 수학으로 세상의 모든 현상을 설명하다
로그가 발명되면서 계산 시간이 획기적으로 줄어들다 : 근대 수학의 지평을 넓힌 수학자, 존 네이피어
수학의 대중화를 꾀한 데카르트 : 프랑스어로 쓰인 최초의 수학책
400년 동안 풀리지 않은 페르마의 마지막 정리 : 어느 아마추어 수학자가 남긴 수수께끼
수학의 새로운 황금시대 : 인간의 자유로운 정신을 추구한 수학자들
미분과 적분에 담긴 근대정신 : 수의 세계에 시간과 공간이 스며들다
뉴턴과 라이프니츠의 미적분학 논쟁 : 세상의 많은 현상을 수학적으로 표현한 수학자들
수학, 과학의 여왕 자리에 등극하다 : 수학의 위상을 끌어올린 천재 수학자 가우스
가우스의 수학 노트 : 가우스의 미발표 수학 이론들

Chapter 8 수학이 너를 자유케 하리라
고차 방정식의 해법을 찾아서 : 방정식에 매달린 수학자들의 비극
일생을 가난하게 살았던 수학자, 아벨 : 생계와 수학자로서의 삶 그 사이
시대와 화해하지 못한 어느 천재 수학자의 불행 : 갈루아의 슬픈 삶
유클리드 기하학의 5가지 공준과 비유클리드 기하학 : 2,000년 기하학의 상식에 반기를 들다
기하학의 코페르니쿠스, 로바체프스키 : 우주와 천체를 새롭게 이해하다
공간에 대한 새로운 개념의 탄생 : 뫼비우스의 띠와 클라인 병
자기 닮음의 기하학 : 신비로운 프랙털의 세계
여성 수학자의 길을 연 소피야 코발레프스카야 : 수학이라는 험난한 여정에 도전하여 승리하다
비운의 천재 수학자, 라마누잔 : 신비에 싸인 인도 수학자

Chapter 9 수학은 한 지점을 향한 끈질긴 인내의 결과물이다
우주의 비밀을 담은 공식, E\u003dMC2 : 치명적으로 아름다운 방정식
컴퓨터의 아버지, 앨런 튜링 : 전쟁의 시대, 불행했던 수학자들
괴델의 불완전성 정리 : 참과 거짓을 구별할 수 없는 명제
몽상가 기질을 가진 수학자들 : 수의 세계에 몰입한 천재들의 에피소드
수학자들은 끊임없이 움직이는 존재다 : 수학자들의 무서운 집념
더디더라도 끝까지 가겠다는 그 마음 : 여성 수학자들의 열정
인간은 무와 무한 그 사이의 존재 : 수학자들이 맞은 아름다운 끝

에필로그 _ 수의 세계로 떠난 아름다운 여행을 마치며