머리말
해석학은 대수적 구조와 위상적 구조를 모두 가지고 있는 공간의 성질과 그러한 공간 위에서 정의된 함수의 성질을 밝히는 수학의 분야입니다. 특히 학부 과정의 기초해석학은 엄밀하게 구성된 수 체계를 바탕으로 극한을 정의하고 공간과 함수의 성질을 밝히는 과목으로서 다양한 수학 분야의 디딤돌이 됩니다.
이 책은 해석학의 기초 내용을 공부하는 사람들을 위한 교재로서 학부 수준의 집합론과 미적분학을 각각 한 학기 이상 수강한 사람들이 볼 수 있는 수준으로 구성되어 있습니다. 주로 해석학을 처음 공부하는 사람들에게 초점을 맞추어 내용을 구성하였고, 해석학을 공부한 경험이 있는 사람들에게도 유용하도록 다양한 예제와 확장된 내용을 실었습니다.
이 책에서는 정리를 제시하기 전에 그것이 왜 필요한지 설명하였으며 증명을 위한 발상법을 제시하였습니다. 그리고 각 장의 내용이 서로 어떻게 연결되는지 설명하였으며 읽는 사람으로 하여금 이러한 내용을 별개의 것으로 느끼지 않고 전체를 유기적이고 종합적으로 이해할 수 있도록 구성하였습니다.
내용을 전개함에 있어 열린집합과 닫힌집합의 개념을 도입하고 전체 단원에 위상적 관점을 일관되게 적용함으로써 독자의 사고가 유클리드 공간에서 정의된 함수에만 머물지 않고 일반적인 거리공간에서 정의된 함수에 대한 것으로 쉽게 확장될 수 있도록 하였습니다. 위상적 관점을 적용하면 처음에는 어려워 보이지만 제대로 이해하면 후속 과목으로 복소해석학, 미분기하학, 위상수학, 함수해석학 등을 공부하는 데에 매우 큰 도움이 됩니다.
목차에서 별 표시(*)가 되어 있는 절은 뒤 단원에 연결된 내용이 없는 것이므로 해석학을 처음 공부하는 사람들은 이러한 단원을 뛰어 넘어도 됩니다. 본문에서 정리의 번호에 별 표시가 되어 있는 것은 해석학을 처음 공부하는 사람들이 보기에 너무 어려운 것이므로 처음 공부하는 사람들은 이러한 정리를 뛰어 넘어도 됩니다. 증명에 별 표시가 되어 있는 것은 해석학을 처음 공부하는 사람들이 보기에는 너무 어려운 것이므로 처음 공부하는 사람들은 정리의 내용만 확인하고 증명은 뛰어 넘어도 됩니다.
연습문제는 수준별로 제시되어 있기 때문에 독자는 자신의 수준에 맞는 문제를 골라서 풀 수 있습니다. 해석학을 처음 공부하는 사람은 본문의 보기와 예제를 꼼꼼히 공부하고 개념 이해하기 문제를 중심으로 공부하면 좋습니다. 개념 이해하기 문제를 쉽게 풀 수 있거나 해석학을 공부한 적이 한 번 이상 있는 사람은 개념 응용하기 문제를 중심으로 공부하면 좋습니다. 실력 향상을 원하는 사람은 실력 다지기 문제를 풀어보기 바랍니다. 도약하기 문제는 후속 과목, 수학사, 수학교육과 관련된 다양한 문제로 구성되어 있으며, 해석학을 진정으로 깊게 이해하고 공부할 수 있도록 방향을 제시해 줍니다.
이 책은 2005년 초판이 발행된 후 여러 차례 개정을 거듭한 것입니다. 2005년 6월에 공개한 2판에서는 거리공간에 관한 내용을 추가하였으며 2008년 1월에 공개한 3판에서는 학습자의 심리를 고려한 구성 방식을 적용하였습니다. 2010년 1월에 공개한 3판 개정판에서는 가독성을 고려하여 편집디자인을 개선하였습니다.
이번 4판에서 달라진 점은 다음과 같습니다.
? ‘수학의 논리와 집합’ 단원을 추가하였습니다.? 각 단원의 학습목표를 제시하여 학습의 방향을 안내하였습니다.? 해석학 개론서의 수준에 맞게 내용을 가감하였습니다.
초판을 공개한 후 4판을 발행하기까지 내용을 구상하고 편집하는 과정에서 많은 분들이 의견을 내어 오류를 수정하고 더 나은 책을 만드는 데에 도움을 주었습니다. 정확하고 좋은 내용을 담기 위하여 최선의 노력을 하였으나 여전히 오타나 논리적 오류 등 미흡한 부분이 남아 있으리라 생각됩니다. 고쳐야 할 부분을 발견하거나 더 좋은 내용에 대한 의견이 있으면 이메일 designeralice@daum.net
을 보내주시기 바랍니다.
‘수학 나라의 앨리스’ 커뮤니티 http://aliceinmathland.com
에 방문하면 이 책의 최신 정보를 얻을 수 있으며 이 책을 파일로 내려 받을 수 있습니다. 카페에 방문하여 다른 방문자들과 정보를 나누고 여러 가지 문제를 함께 고민하며 풀어 보기 바랍니다. 또 여러분이 지금 보고 있는 이 책처럼 여러분의 개성이 들어간 자료를 만들어 많은 사람들과 함께 나누어 보기 바랍니다. 열심히 공부하여 다른 사람과 나누면 그것이 몇 배가 되어 자신에게 돌아옵니다.
저는 수학을 공부하는 사람들이 온라인에서 많은 정보를 얻을 수 있기를 바랍니다. 이 책을 포함하여 제가 온라인 커뮤니티와에 공개한 여러 책과 자료는 그러한 인터넷 문화를 만들고 싶은 저의 소망이 담긴 것입니다. 이 책이 독자 여러분께 도움이 되기를 바랍니다.
이 책이 나오기까지 관심을 가져준 많은 분들께 감사드립니다.
2018년을 시작하는 겨울김백진

01 수학의 논리와 집합
1.1 명제와 조건 12
1.2 집합의 연산 17
1.3 관계와 분할 20
1.4 함수 24
1.5 순서집합 27
1.6 선택공리 32
1.7 집합의 크기 33
◎ 단원 마무리 문제 37

02 실수계의 성질
2.1 실수계의 체 공리 40
2.2 실수계의 순서 공리 43
2.3 수학적 귀납법 47
2.4 실수계의 상한 공리 50
2.5 지수의 확장 55
2.6 열린집합과 닫힌집합 58
◎ 단원 마무리 문제 62

03 실수열의 극한
3.1 극한의 개념 68
3.2 극한의 계산 74
3.3 단조수열 79
3.4 발산하는 수열 83
3.5 집합의 집적점과 수열의 집적점 85
3.6 코시 수열 88
3.7 상극한과 하극한 90
3.8 닫힌집합에서의 극한 94
3.9 긴밀집합 96
◎ 단원 마무리 문제 99

04 실함수의 극한
4.1 점에서의 극한 104
4.2 극한의 계산 110
4.3 연속함수 113
4.4 무한대 극한 120
4.5 상극한과 하극한* 123
◎ 단원 마무리 문제 125

옆에 별 표시(*)가 있는 단원은 그 내용이 뒤에서 사용되지 않는 단원입니다. 해석학을 처음 공부하는 사람들은
이 단원을 뛰어 넘어도 됩니다.

05 실함수의 미분
5.1 미분계수와 도함수 132
5.2 미분의 계산 137
5.3 평균값 정리 140
5.4 테일러의 정리 144
5.5 로피탈의 법칙 147
5.6 볼록함수* 151
◎ 단원 마무리 문제 154

06 실함수의 리만 적분
6.1 리만 적분의 정의 158
6.2 리만 적분의 성질 165
6.3 리만 합 172
6.4 미적분학의 기본 정리 176
6.5 변수변환 182
6.6 연속이 아닌 함수의 적분 185
6.7 특이적분 190
◎ 단원 마무리 문제 194

07 실수열의 무한급수
7.1 무한급수의 수렴과 발산 200
7.2 양항급수 204
7.3 여러 가지 무한급수 211
7.4 급수의 합과 곱 214
7.5 급수의 재배열* 217
◎ 단원 마무리 문제 220

08 실해석적 함수
8.1 함수열의 평등수렴 224
8.2 함수급수의 평등수렴 233
8.3 연속함수공간* 237
8.4 거듭제곱급수 241
8.5 해석적 함수 247
8.6 여러 가지 함수 253
◎ 단원 마무리 문제 259

A 부록
A1. 집합을 이용한 실수계의 구성 266
A2. 리만 적분과 관련된 반례 272
A3. 참고문헌 276
A4. 용어와 기호 찾아보기 280

해석학은 대수적 구조와 위상적 구조를 모두 가지고 있는 공간의 성질과 그러한 공간 위에서 정의된 함수의 성질을 밝히는 수학의 분야입니다. 특히 학부 과정의 기초해석학은 엄밀하게 구성된 수 체계를 바탕으로 극한을 정의하고 공간과 함수의 성질을 밝히는 과목으로서 다양한 수학 분야의 디딤돌이 됩니다.
이 책은 해석학의 기초 내용을 공부하는 사람들을 위한 교재로서 학부 수준의 집합론과 미적분학을 각각 한 학기 이상 수강한 사람들이 볼 수 있는 수준으로 구성되어 있습니다. 주로 해석학을 처음 공부하는 사람들에게 초점을 맞추어 내용을 구성하였고, 해석학을 공부한 경험이 있는 사람들에게도 유용하도록 다양한 예제와 확장된 내용을 실었습니다.
이 책에서는 정리를 제시하기 전에 그것이 왜 필요한지 설명하였으며 증명을 위한 발상법을 제시하였습니다. 그리고 각 장의 내용이 서로 어떻게 연결되는지 설명하였으며 읽는 사람으로 하여금 이러한 내용을 별개의 것으로 느끼지 않고 전체를 유기적이고 종합적으로 이해할 수 있도록 구성하였습니다.
내용을 전개함에 있어 열린집합과 닫힌집합의 개념을 도입하고 전체 단원에 위상적 관점을 일관되게 적용함으로써 독자의 사고가 유클리드 공간에서 정의된 함수에만 머물지 않고 일반적인 거리공간에서 정의된 함수에 대한 것으로 쉽게 확장될 수 있도록 하였습니다. 위상적 관점을 적용하면 처음에는 어려워 보이지만 제대로 이해하면 후속 과목으로 복소해석학, 미분기하학, 위상수학, 함수해석학 등을 공부하는 데에 매우 큰 도움이 됩니다.
목차에서 별 표시(*)가 되어 있는 절은 뒤 단원에 연결된 내용이 없는 것이므로 해석학을 처음 공부하는 사람들은 이러한 단원을 뛰어 넘어도 됩니다. 본문에서 정리의 번호에 별 표시가 되어 있는 것은 해석학을 처음 공부하는 사람들이 보기에 너무 어려운 것이므로 처음 공부하는 사람들은 이러한 정리를 뛰어 넘어도 됩니다. 증명에 별 표시가 되어 있는 것은 해석학을 처음 공부하는 사람들이 보기에는 너무 어려운 것이므로 처음 공부하는 사람들은 정리의 내용만 확인하고 증명은 뛰어 넘어도 됩니다.
연습문제는 수준별로 제시되어 있기 때문에 독자는 자신의 수준에 맞는 문제를 골라서 풀 수 있습니다. 해석학을 처음 공부하는 사람은 본문의 보기와 예제를 꼼꼼히 공부하고 개념 이해하기 문제를 중심으로 공부하면 좋습니다. 개념 이해하기 문제를 쉽게 풀 수 있거나 해석학을 공부한 적이 한 번 이상 있는 사람은 개념 응용하기 문제를 중심으로 공부하면 좋습니다. 실력 향상을 원하는 사람은 실력 다지기 문제를 풀어보기 바랍니다. 도약하기 문제는 후속 과목, 수학사, 수학교육과 관련된 다양한 문제로 구성되어 있으며, 해석학을 진정으로 깊게 이해하고 공부할 수 있도록 방향을 제시해 줍니다.
이 책은 2005년 초판이 발행된 후 여러 차례 개정을 거듭한 것입니다. 2005년 6월에 공개한 2판에서는 거리공간에 관한 내용을 추가하였으며 2008년 1월에 공개한 3판에서는 학습자의 심리를 고려한 구성 방식을 적용하였습니다. 2010년 1월에 공개한 3판 개정판에서는 가독성을 고려하여 편집디자인을 개선하였습니다.
이번 4판에서 달라진 점은 다음과 같습니다.
? ‘수학의 논리와 집합’ 단원을 추가하였습니다.? 각 단원의 학습목표를 제시하여 학습의 방향을 안내하였습니다.? 해석학 개론서의 수준에 맞게 내용을 가감하였습니다.
초판을 공개한 후 4판을 발행하기까지 내용을 구상하고 편집하는 과정에서 많은 분들이 의견을 내어 오류를 수정하고 더 나은 책을 만드는 데에 도움을 주었습니다. 정확하고 좋은 내용을 담기 위하여 최선의 노력을 하였으나 여전히 오타나 논리적 오류 등 미흡한 부분이 남아 있으리라 생각됩니다. 고쳐야 할 부분을 발견하거나 더 좋은 내용에 대한 의견이 있으면 이메일 designeralice@daum.net
을 보내주시기 바랍니다.
‘수학 나라의 앨리스’ 커뮤니티 http://aliceinmathland.com
에 방문하면 이 책의 최신 정보를 얻을 수 있으며 이 책을 파일로 내려 받을 수 있습니다. 카페에 방문하여 다른 방문자들과 정보를 나누고 여러 가지 문제를 함께 고민하며 풀어 보기 바랍니다. 또 여러분이 지금 보고 있는 이 책처럼 여러분의 개성이 들어간 자료를 만들어 많은 사람들과 함께 나누어 보기 바랍니다. 열심히 공부하여 다른 사람과 나누면 그것이 몇 배가 되어 자신에게 돌아옵니다.
저는 수학을 공부하는 사람들이 온라인에서 많은 정보를 얻을 수 있기를 바랍니다. 이 책을 포함하여 제가 온라인 커뮤니티와에 공개한 여러 책과 자료는 그러한 인터넷 문화를 만들고 싶은 저의 소망이 담긴 것입니다. 이 책이 독자 여러분께 도움이 되기를 바랍니다.
이 책이 나오기까지 관심을 가져준 많은 분들께 감사드립니다.
2018년을 시작하는 겨울김백진