하루의 시작과 끝, 언제 어디서나 미적분과 함께하고 있다
미적분의 탄생부터 실생활에 활용되기까지
펼치는 순간 단숨에 이해되는 미적분의 비밀

우리가 수학 그리고 미적분을 어렵게 생각하는 이유는 무엇일까. 바로 본질에 대한 이해 없이 암기 과목처럼 공식을 외우고 문제 풀이만 반복하는 수학 교육 방식에 익숙해져 있기 때문이다. 대부분 수학 수업은 “학생들에게 어떤 식이 왜 중요한가를 설명하지 않는다. 그 식이 어디서 왔으며 어느 부분이 핵심인지도 알려 주지 않는다.” 하지만 이런 식의 공부법은 학생들이 “뭔가를 깨달았다고 착각”하게 하고 수학에 대한 흥미를 떨어트리게 할 뿐만 아니라 조금만 응용된 문제가 나와도 벽에 부딪혀 좌절감을 느끼게 한다.
《더 이상한 수학책》은 여러 이유로 수학과 멀어지거나 수학에 겁을 먹은 사람들도 흥미를 붙이도록 한 독자 친화적인 책이다. 미적분이라는 다소 어려워 보이는 주제를 다루고 있지만 모든 개념을 그림이라는 시각적 설명과 적절한 대상을 활용한 비유를 통해 직관적으로 이해할 수 있도록 돕기 때문이다. 저자는 ‘변화에 대한 변화’를 다루는 미분과 적분을 각각 ‘순간’과 ‘영원’으로 나눠 소개한다. 예를 들어 미분이 버터 바른 토스트를 한 입 베어 무는 찰나처럼 흐르는 시간의 흐름 속에서의 ‘순간’을 마주한 것이라면, 반대로 적분은 무수히 많은 물방울이 하나의 줄기가 되는 ‘영원’을 포착한 것이라 말한다.
이렇듯 수학 공식이나 문제 위주가 아닌 삶에 교묘하게 파고든 예시로 수학적 사고력을 기르는 수학 공부법은 주입식 공부에 지친 우리가 수학에 좀 더 편안히 다가가도록 돕는다. 이 책에서 미분하는 법과 적분하는 법을 직접 배우는 일은 없지만 그럼에도 불구하고 미적분 원리가 이해되는 신기한 경험을 할 수 있을 것이다.


제4차 산업 혁명 이후의 시대에는
수학을 즐기고 이해하고 장악해야 미래를 대비할 수 있다

저자는 어떤 수학 공식이나 문제 풀이 없이 미적분의 탄생부터 실생활에 활용되기까지 연대기를 훑으며 수학이 우리 삶과 얼마나 밀접하게 닿아 있는지를 보여 준다. 물건의 가격이 시장 이론에 의해 정해지고, 정부가 조세 정책을 통해 적정 세율을 책정하고, 어떤 프로젝트의 예산을 계획하거나 가늠하는 것도 미분과 적분을 경제학, 물리학, 예술, 기술 등의 다른 분야와 융합한 결과다. 이렇듯 관심이 없거나 잘 몰라서 눈치채지 못했던 사회 현상에 숨은 미분과 적분 원리를 소개하는 과정은 “왜 우리가 수학을 배워야 하는가.”라는 질문에 관한 답으로 자연스럽게 연결된다.
2021년 현재, 인공 지능, 빅데이터, 자율 주행 등의 기술 발전과 각종 산업의 디지털화로 역사상 그 어느 시대보다 빠른 속도로 변화가 일어나고 있다. 방대한 데이터에서 의미를 읽어 내고 문제 해결 과정을 여러 번 반복하고 그에 따른 사고 패턴을 익히며 논리력, 응용력, 사고력을 향상해 온 것이 이 열풍의 핵심 요인이다. 그런데 이는 저자가 강조한 ‘수학 공부하는 법’과 닮았다. 광범위한 분야에서 이루어지는 이 거대한 흐름의 저변에 다양한 수학 지식이 깔려 있기 때문이다. 수학이 단순히 수학을 위한 수학으로 배워야 하는 대상이 아님을, 변덕스러운 세상에서 더욱 현명하게 살아가기 위해 배워야 하는 필수 지식임을 다시 한번 깨닫는 지점이다.
우리가 일상을 살아가면서 미적분 문제를 풀 일은 거의 없다. 하지만 그 원리를 알고 세상을 바라보는 것과 그렇지 않은 것 사이에는 엄청난 차이가 존재한다. 그러니 이 책을 통해 수학 그리고 미적분에 대한 막연한 두려움에서 벗어나 친구가 되어 보자. 수학이 조금 낯설고 어렵긴 해도 반대로 가장 현실적이면서 단순하고 명쾌한 학문이라는 것을 이해한다면, 끝없이 변화하는 현대 사회와 다가올 미래를 준비하는 데 든든한 무기가 되어 줄 것이다. 《더 이상한 수학책》이 수학을 사랑하는 사람과 수학이 두렵고 왜 배워야 하는지 고민인 모두에게 인생을 보다 풍요롭게 만들어 주는 길잡이가 되어 주길 바란다.
벤 올린의 재치 가득한 표현 덕분에 미적분학이 초콜릿 상자가 되었다. 시부터 증명, 만화, 명언까지! 다음엔 무엇이 등장할지 알 수 없고 또 너무 궁금하다. 그러나 이런 모든 변화 가운데 변하지 않는 사실 하나가 있다. 바로 그의 이야기가 한입 베어 물면 계속 먹고 싶을 만큼 맛있다는 것이다.
―스티븐 스트로가츠, 《x의 즐거움》 저자

복잡한 방정식이 아닌 이야기, 그림, 유머로 미적분학을 탐구하는 이 책은 단번에 마음을 사로잡은 인상적인 책이다. 앉은 자리에서 곧바로 완독한 최초이자 유일한 수학책!
―라이언 노스, 《길 잃은 시간여행자를 위한 문명 건설 가이드》 저자

이 책은 첫 페이지부터 나를 웃게 만들었다. 예시들은 하나같이 통찰력 있고 유쾌하며, 물리학과 경제학뿐만 아니라 역사, 문학, 심지어 해변에서 뛰어노는 강아지에서도 가져왔을 정도로 우리 삶과 밀접하게 맞닿아 있다.
―그랜트 샌더슨, 340만 명 구독 수학 유튜브 채널 ‘3Blue1Brown’의 크리에이터

분명히 해 두고 싶다. 여러분 손안에 있는 이 책은 “미적분학을 알려 주지 않는다.” 이 책은 질서 정연한 교과서가 아니라 다방면에 걸쳐 우스꽝스러운 그림을 그린 일종의 ‘민속’ 기록이다. 즉 일반인 독자를 위해 비전문적인 언어로 썼다. 여러분은 미적분학에 문외한일 수도 있고 이미 친숙할 수도 있다. 책 속 이야기들이 작은 즐거움과 통찰을 줄 수 있기를 바란다. 이 책은 절대로 완성되지 않는다. 페르마의 빛의 굴절, 뉴턴의 암호문, 디랙의 불가능한 함수 등이 포함되지 않았다는 말이다. 변화무쌍한 이 세상에서 어떤 책도 모든 걸 다룰 수는 없다. 신화도 끝나지 않는다. 강은 계속 흐른다.
―12~13쪽, ‘머리말’ 중에서

“이번 주는 무척 좋네요. 뭐, 어려운 일도 있지만 점점 나아지고 있어요.” 분명한 건 나는 첫째, 수학 교사이자 둘째, 인간이다. 즉 제임스 선생님 말에 다음과 같이 반응했다. “음, 그럼 선생님의 행복 함수는 높지도 않고 낮지도 않은 중간값을 나타내고 있군요. 물론 1차 도함수는 양이지만요.” (……) “시간축을 따라 선생님의 행복 그래프를 그리세요. 선생님 함수는 값이 중간 정도예요. 그렇지만 상승하는 추세죠. 그게 바로 양의 도함수예요.” 제임스 선생님은 대답했다. “알겠어요. 그럼 음의 도함수는 상황이 나빠진다는 뜻인가요?”
―46~47쪽, ‘제3장. 버터 바른 토스트를 먹으며 느낀 찰나의 행복’ 중에서

곡선은 순한 양 같다. 우리는 곡선을 안심시켜서 잠재운다. 그다음 곡선을 확대해 보자. 그러면 굽은 부분이 약간 확대되긴 하지만 그래도 여전히 맨눈으로 봤을 때 곡선임이 분명하다. 기술적으로도 확실히 곡선이다. 물론 어떤 실용적인 목적을 위해 직선으로 보았다면 더 좋았겠지만. 그러나 우리가 알고 있는 가장 작은 크기로, 하지만 0은 아닌 무한소의 크기로 확대해 보면 곡선은 우리가 찾고 있는 것으로 변한다. 즉 적어도 우리 상상 속에서는 직선이 된다. 자, 이게 미분과 무슨 상관이 있는가? 모든 면에서 관계가 있다.
―77쪽, ‘제5장. 미시시피강이 160만 킬로미터를 흐른다면’ 중에서

톨스토이의 적분은 학문으로는 실패했지만 비유로서는 성공한 것 같다. 인류 전체로 보면 개인은 너무 작아서 거의 무한소에 가깝고 그 수는 무한대다. 하지만 개인을 모두 더하면 총인구를 구할 수 있다. 이러한 논리에 따르면 역사는 단지 어느 소그룹이나 한 개인의 것이 아니다. 역사는 왕이나 대통령 혹은 비욘세나 어떤 싱글 레이디에 좌우되지 않는다. 역사는 모든 개인의 것이다. (……) 이러한 사실은 어떤 과학적 예측이나 수학 법칙을 만들어 내지 않는다. 오히려 그것은 시적 진실이다. 모든 것을 아우르는 적분 속에서 각 무한소는 동일한 중요도로 다뤄주어야 한다는 진실 말이다.
―224쪽, ‘제17장. 《전쟁과 평화》와 적분’ 중에서

적분은 수학자만을 위한 게 아니다. 수문학자는 적분을 이용하여 지하수를 따라 흐르는 오염 물질을 추산한다. 생명 공학자는 적분을 이용하여 폐 기능에 관한 이론을 시험하며, 경제학자는 소득 분배를 분석하고 완전한 균등에서의 편차를 구한다. 적분은 당뇨 연구, 역학, 제정신이 아닌 러시아 소설 등 곡선 아래의 면적을 측정하려는 어느 분야나 어떤 사람에게도 활용 가능하다. 적분은 못으로 가득한 세상의 망치와 같으며 절대 대장장이만의 것이 아니다. 그러나 부족한 점이 많은 나를 비롯한 수학 교사들은 실수할 때가 있다. 우리는 적분을 미분의 반대 개념으로 강조한다.
―279쪽, ‘제22장. 1994년, 미적분학이 탄생하다’ 중에서

머리말

제1부. 순간
제1장 손에 잡히지 않는 시간: 미적분학이 소원을 들어주다
제2장 영원히 떨어지는 달: 미적분학이 우주를 설명하다
제3장 버터 바른 토스트를 먹으며 느낀 찰나의 행복: 미적분학이 마음을 사로잡다
제4장 세계 공통어: 미적분학이 재미를 보다
제5장 미시시피강이 160만 킬로미터를 흐른다면: 미적분학이 장난을 치다
제6장 셜록 홈스와 엉뚱한 방향을 가리키는 자전거: 미적분학이 미스터리를 풀다
제7장 근거 없는 유행학 개론: 미적분학이 유행을 기록하다
제8장 바람이 남긴 것: 미적분학이 수수께끼를 내다
제9장 더스티 댄스: 미적분학이 식물학자를 당황하게 만들다
제10장 머리칼이 새파란 여성과 초월적인 소용돌이: 미적분학이 남편을 대신하다
제11장 도시의 경계에 선 공주: 미적분학이 해안가를 소유지로 주장하다
제12장 종이 클립이 일으킨 폐허: 미적분학이 재앙을 안내하다
제13장 곡선의 최후 승리: 미적분학이 조세 정책을 다시 쓰다
제14장 그 개는 알고 있다: 미적분학이 개를 스타로 만들다
제15장 칼큘무스!: 미적분학이 모든 문제를 영원히 해결하다

제2부. 영원
제16장 circle 그리고 원, 집단, 서클: 미적분학이 오이를 자르다
제17장 《전쟁과 평화》와 적분: 미적분학이 역사를 변혁하다
제18장 리만시(市) 스카이라인: 미적분학이 도시 설계자가 되다
제19장 통합이란 위대한 성취: 미적분학이 디너파티를 준비하다
제20장 적분 안에서 벌어지는 일은 적분 안에 머문다: 미적분학이 도구를 늘리다
제21장 딱 한 번 펜을 잘못 놀렸을 뿐인데 사라져 버린 존재: 미적분학이 우주의 68퍼센트를 지우다
제22장 1994년, 미적분학이 탄생하다: 미적분학이 혈당치를 측정하다
제23장 고통을 반드시 느껴야 한다면: 미적분학이 영혼을 측정하다
제24장 신들과 싸우다: 미적분학이 로마의 공격을 막아 내다
제25장 보이지 않는 구로부터 : 미적분학이 4차원을 방문하다
제26장 추상주의에 뛰어난 바클라바: 미적분학이 미주가 되다
제27장 가브리엘, 너의 나팔을 불라: 미적분학이 이단을 낳다
제28장 불가능의 장면: 미적분학이 짜증과 동시에 열광을 일으키다

감사의 말
강의 노트
참고 문헌