복잡한 세상 이치를 꿰뚫는 19가지 수학 도구

세상은 복잡하다. 그 속에서 살아가야 하는 사람들의 인생도 당연히 쉬울 리 없다. 이런저런 일들이 뒤얽혀 도대체 무슨 일이 벌어지고 있는지, 어디서부터 실마리를 풀어가야 할지 종잡을 수 없을 때가 많다. 우리에게 수학적 사고가 필요한 이유가 여기에 있다. 아무리 복잡한 일이 벌어지고 있더라도 수학적 논리에 따라 체계적으로 따져보면 해답이 수면 위로 떠오른다. 그리고 복잡하던 세상이 단순하고 명쾌하게 보이기 시작한다.

어느 날 폰티악 자동차 회사로 고객이 보낸 한 통의 메일이 도착한다. 내용인즉슨, 주말마다 드라이브를 즐기며 아이스크림을 사 먹는 것이 가족 행사인데, 꼭 바닐라 아이스크림을 사 먹으면 자동차 시동이 걸리지 않는다는 내용이었다. 언뜻 정신나간 소리로 들릴 수도 있지만 실제 사실이니 꼭 문제를 해결해달라고 부탁했다. 이치에 맞지 않았지만 엔지니어가 확인해보니 사실이었다. 그렇다면 이 문제를 어떻게 해결할 수 있을까? 바로 ‘조건부 독립’이라는 수학적 사고였다. 이해할 수 없는 그 현상은 간단한 수학적 사고로 원인이 명확해졌고 자동차를 쉽게 수리할 수 있었다.

런던 택시기사들이 재킷을 입지 못하게 막는 법률이 제정된 적이 있다. 택시기사가 재킷을 입는 날에는 교통사고 확률이 대폭 증가한다는 조사 결과가 나왔기 때문이다. 하지만 이후 추가 연구를 통해 재킷 착용과 교통사고 확률은 유의미한 상관관계가 없다는 사실이 밝혀졌다. 이 또한 ‘조건부 독립’이라는 간단한 수학적 사고를 하지 못해 크나큰 사회적 비용이 지출된 셈이다.

개인의 삶도 마찬가지다. 수학적 사고를 훈련하지 못한 사람은 자신에게 닥친 문제를 엉뚱하게 해석해 헛된 노력을 하기 쉽다. 이 책 『복잡한 세상을 이기는 수학의 힘』은 이해하기 쉬운 생활 속의 사례를 들어 수학적 사고를 내면화할 수 있도록 도와준다. 복잡한 세상을 단순하게, 모호한 인간관계를 명쾌하게, 풀리지 않던 경제 문제를 19가지 수학 도구로 아주 쉽게 해결하는 경험을 할 수 있다.

이 책은 수학 이론을 가르치려는 게 아니다. 자신 있게 말하지만 이 책의 마지막 장을 덮고 나면 복잡해 보이던 일과 삶에 닥친 여러 문제가 훨씬 더 간명하게 보일 것이다.

수학적 사고로 세상을 해석하고 문제를 해결한다

“수많은 주식 투자 이론, 성공 이론 중 무엇이 옳고 틀린 걸까?”
“가끔 오는 대확행, 자주 오는 소확행, 무엇이 우리를 더 행복하게 할까?”

이 책은 크게 세 부분으로 구성되어 있다.
1부 사고 편에서는 이성적 사고로 세상을 바라보는 법을 설명한다. 확정적 사고나 운명론적 사고를 벗어나 현실을 있는 그대로 받아들이고 노력을 통해 승산을 높이는 세계관을 배운다. 해석보다 예측이 중요한 이유, 복잡한 현상 뒤에 숨겨진 단순한 규칙, 관련되어 보이지만 실제로는 독립된 원인을 찾아내는 조건부 독립 등의 내용이 담겨 있다.

2부 방법 편에서는 어려운 문제를 해결하는 전략과 기교에 대해 설명한다. 기초를 정확하게 찾는 중요성, 본질을 포착해서 제약에서 벗어나는 법, 지켜야 할 때와 도전해야 할 때를 구분하는 기초확률, 최소제곱법이 설명하는 중용의 지혜, 문제를 해결할 수 없을 때는 사물의 형태를 변환해서 보는 전환 사고 등의 전략을 배운다.

3부 학습 편에서는 수학적 사고를 효과적으로 학습하는 법을 다룬다. 기계학습 모델을 통해 교훈을 얻고 행렬의 특이값 분해를 통해 명확하게 표현하는 법을 설명한다. 수학적 사고로 책을 빠르게 읽고 이해하는 방법을 설명한 부분은 독자의 무릎을 치게 만들 것이다.

책 속에서

** 공기 역학에 새로운 방면을 개척한 조지 케일리는 새의 비행 원리를 이해한 뒤 고정 날개 형태로 위로 향하는 양력을 만들어낼 수 있는 원리를 제시했다. 그리고 이후 라이트 형제가 해당 원리를 발전시켜 인류는 마침내 하늘을 나는 꿈을 실현할 수 있었다.
이것이 바로 본질을 포착하고 제약을 제거하는 사고이다. 인류가 새의 비행을 모방해 하늘을 날기

위해서는 먼저 새의 비행 원리, 즉 공기 역학을 이해해야 한다. 그리고 공기 역학에 근거해 비행에 필요한 양력을 만들어내야 한다. 공기 역학을 이해하면 날갯짓은 양력을 만들어내는 하나의 방식일 뿐이며 새에게는 적합한 방법이지만 사람에게는 아니라는 사실을 알 수 있다.

** 여기서는 도박을 예로 확률과 알고리즘에 대해 다룬다. 우리는 수학의 관점에서 도박장 운영자가 돈을 버는 방법에 관해 이야기해 보겠다. 이 점을 이해한다면 도박에 빠진 사람이 결국에는 전 재산을 탕진하게 되는 이유를 이해할 수 있을 것이다. 그리고 이를 통해 교훈도 얻을 수 있을 것이다.

** ‘일부 방정식에 대한 완벽한 해’와 ‘모든 방정식에 대한 불완전한 해’는 두 가지 서로 다른 사고방식을 대표한다. 우선 첫 번째 사고방식을 가진 사람은 ‘편협’하다는 특징이 있다. 그래서 어떤 이치든 자신의 관점과 완벽하게 일치해야만 받아들인다. 이런 사람은 자신이 옳다고 판단한 이치가 실제로는 그렇지 않더라도 신경 쓰지 않는다.
자신이 옳다고 생각하는 것만 받아들이고 이것과 충돌하는 관점은 무엇이든 문제가 있다고 단정을 짓고 받아들이지 않는 것은 완벽주의가 가진 문제점이다. 이것을 방정식으로 표현해 보면 연립 방정식 중 일부 방정식만 다루고 다른 방정식을 무시하거나 아예 삭제한 채 ‘연립 방정식에 유일한 해’가 있다는 신념을 갖는 것이다.

** 확률적 세계관은 ‘일을 꾸미는 것은 사람이지만 성사 여부는 하늘에 달려 있다謀事在人, 成事在天’라는 고사성어와 상통하는 부분이 있다. 우리는 확률로 이 고사성어를 더욱 명확하게 이해할 수 있다. ‘일을 꾸미는 것은 사람이다’라는 것은 ‘노력으로 성공 확률을 높일 수 있다’는 의미이다. 그리고 성사 여부는 하늘에 달려 있다는 것은 ‘열심히 노력해 만반의 준비를 마쳤다고 해도 확률상

반드시 성공하는 것은 아니다’라는 의미이다. 또 앞에서 언급한 ‘노력하면 성공한다’와 ‘숙명론’을 확률적 세계관의 관점에서 바라본다면 두 가지 세계관이 가진 문제점을 더욱 명확하게 파악할 수 있다.

** 이런 점에서 우리는 ‘아둔한 구두장이라도 셋이 모이면 제갈량과 필적할 수 있다’라는 말을 수정할 필요가 있다. 아둔한 구두장이 세 명이 모여서 제갈량과 필적하려 한다면 그들이 가진 능력과 문제를 바라보는 각도가 서로 달라야 한다. 만일 구두장이 세 명이 문제를 바라보는 각도가 비슷하다면 아무리 기를 쓰고 노력한들 제갈량 한 사람을 이길 수 없을 테니 말이다.

** 사실 주변에는 두 가지의 관련되어 보이는 사건이 실제로는 또 다른 사건에 관한 조건부 독립인 경우가 많다. 그러니 우리가 배후에 있는 ‘또 다른 사건’을 파헤치지 않는다면 ‘관련성’을 ‘인과성’으로 쉽게 오해하게 된다.

** 맨 처음 문제로 돌아가 보자. 젊었을 때 대도시에서 다양한 경험을 쌓고 여러 직업을 시도해 봐야 하는 이유는 뭘까? 그건 인생이 실제로는 최적해를 찾는 과정이기 때문이다. 시작부터 완벽한 사람은 없다. 하지만 우리는 끊임없이 노력해 자신을 발전시켜 나갈 수 있고, 자신이 도달할 수 있는 가장 좋은 위치에 이르는 것을 최후의 목표로 삼을 수 있다. 이 과정은 앞에서 다룬 경사법과 언덕 오르기에 담긴 사고와 일치한다.

추천사
프롤로그

PART 1 이성적 사고로 세상을 통찰하는 법_사고 편

. 가혹한 현실을 인정하고 노력으로 99%의 확률에 도전하라
. 누구나 아는 '해석'보다 아무도 모를 '예측'을 하라
. 아둔한 구두장이 셋과 제갈량의 대결
. 자주 찾아오는 소확행과 가끔 찾아오는 대확행
. 장점과 단점의 심층 분석
. 복잡한 현상 배후에 숨겨진 단순한 규칙
. 사건 뒤 몸을 숨긴 배후 사건을 찾아라
. 공기청정기와 칼만 필터

PART 2 난제를 해결하는 전략과 기교_방법 편

. 다다익선 양성 피드백 VS 설상가상 음성 피드백
. 세기의 마천루도 완벽한 기초 설계부터
. 본질을 포착해 제약에서 벗어나라
. 거듭할수록 확률을 높이는 큰 수의 법칙
. 오차를 최소화하기 위한 중용의 지혜
. 오히려 약이 되는 시행착오의 즐거움
. 문제를 해결할 수 없을 땐 사물의 형태를 변환하라
. 젊었을 때 다양한 경험을 쌓아라

PART 3 잘 배우고 명확하게 표현하기_학습 편

. 주동적 예측과 편차를 통한 학습법
. 나만의 최적화된 학습모델을 찾아라!
. 핵심부터 명확하고 간단하게 표현하라